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3.7... 4 indica la misma operacion que 33.7 x 4. 4o Asimismo hay dos modos de escribir la division; á saber separando el dividendo del divisor con dos puntos como 12: 4, que es el cociente 3 de la division de 12 por 4; ó bien escribiendo o á la manera de las fracciones, pues se sabe que esta fraccion o es lo mismo que 3, cociente de 12 dividido por 4, ó una de las partes del 12 dividido en 4 iguales. 5? El signo.=, que se llama igual espresa la igualdad de dos cantidades ó magnitudes entre las que se halla colocado; como 32-4=2x14; pues efectivamente las dos cantidades 32-4 y 2x14 forman una y otra 28. Asimismo 15:3-1=2x2, porque estas dos cantidades hacen 4. Se da el nombre de ecuacion, á toda espresion en que entre el signo de igualdad; la parte que está á la izquierda del signo = se llama primer miembro, y la que está á la derecha se llama segundo miembro. 6o Cuando una cantidad se multiplica por si misma una ó mas veces, como 2x2 x 2x2 se abrevia esta escrituara indicando con un guarismo el número de veces que esta cantidad está repetida por factor, y escribiéndose á la derecha un poco mas arriba; asi en lugar de 2x2 x 2x2 se escribe 2”, para designar que es menester multiplicar el 2 cuatro veces por si mismo para que resulte 16. Por lo mismo 4x4x4, ó 4o=64. El guarismo colocado de este modo á la derecha y un poco mas alto se llama esponente, y asi 4 se dice que está elevado el 4 á la tercera potencia. Cuando el número está solo multiplicado por si mismo como 4><4, ó 4o=16, el resultado se llama cuadrado; y si este esponente es 3, como en 2x2x2, ó

23=8 toma el nombre de cubo. Estas dos denominacioTOMO Ie 22

nes, derivan de propiedades geométricas en las que es supérfluo nos detengamos. 79 Por el contrario, siempre que se nos dé una potencia tal como 16 que es la cuarta potencia de 2, podemos proponernos hallar este número 2 que es la raiz cuadrada de 16. Asimismo 64 tiene por raiz tercera ó cúbica el número 4, porque 4 elevado á la tercera potencia ó al cubo, reproduce 64, ó 43=64. Asi como en la division se tiene por objeto deshacer lo hecho por la multiplicacion, de igual modo la estraccion de raices es la operacion inversa de la elevacion á potencias Para indicar que se quiere estraer la raiz de un número, se usa el signo V colocado delante de él; entre los brazos de este signo, que se llama radical se pone el guarismo que espresa el grado de la raiz. Asi se escribirá 8/8=2, porque en efecto si se hiciese el 9 tres veces factor de si mismo produciría 8, y por consiguiente el 2 es la raiz cúbica ó tercera de 8. Igualmente $/81=3, porque 3x3><3x3, ó 34=81. Nada es mas obvio que elevar un número dado á sus potencias sucesivas, porque no se trata de otra cosa que de hacer muchas veces consecutivas la multiplicacion. Mas la estraccion de raices ofrece dificultades muy superiores, y en la Aritmética se dan reglas para obtener estos resultados. Cuando la raiz lleva el guarismo 2 se omite ordinariamente en la escritura; asi V 49 equivale á v749, que es=7, V49= 7. Tales son los siete signos principales que usa el Algebra, y que generalmente se introducen tambien en los cálculos aritméticos porque abrevian el discurso y la escritura; y como el sentido que se les da es sencillo y preciso, no pueden inducir á confusion ni incertiALG. 339 bumbre, pues por largos y complicados que sean los cálculos consecutivos, con el auxilio de estos signos, se puede facilmente formar su cuadro general, des modo que se puedan volverá hallar sus elementos. Esta manera de escribir los cálculos ántes de efectuarlos, tiene ademas la ventaja de manifestar.inmediatamente las principales reducciones de que es susceptible la operacion, y de abreviar por consiguiente su estension. Por esto, ántes de emprender los cálculos * * ¿. , observo que el 9 reducirse á su tercio 3, siempre que se reduzca el 15 —161 =8100: se substituirán estas partes por sus valores reducidos, y tendrémos 550x300x2,43 400950 8100 x 5 40500 de modo que hecho todo el cálculo, el resultado numérico 9,9 equivale á la espresion complicada que habia al principio. Puédense ademas facilitar los cálculos, suprimiendo el factor 5 en 550 y el 300 en 8100, lo que hubiera da, 110 x 2,43 do—

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Puedo tambien suprimir el factor 17 que entra en el denominador y en el 170 del numerador, é igualmente 10

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indicados por

tambien á su tercio 5 de donde resulta

ó 3x178, que todo es igual á 534, como puede como probarse. - e

Cuando muchas operaciones deben sucederse en un órden determinado, se encierran dentro de paréntesis las partes que han de evaluarse primero ántes de emprender los demas cálculos. Por ejemplo, en esta espresion

(562—12)>< (234--66)><2, 43
(8261 — 161 ) ><5

Se harán primero aparte las operaciones que los dife

rentes paréntesis encierran para sacar las cantidades que

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: tambien podia haberse tomado el noveno

de 2,43 y de 27, de lo que hubiera quedado-oo. y aun en fin, 110>k, 09= 9,9, como ántes.

Se da el nombre de fórmula á toda espresion compuesta de signos, que anuncien como las anteriores, una série de operaciones que se hayan de ejecutar.

Supongamos ahora que el uso de los diversos signos cuya naturaleza y objeto hemos espuesto, nos sea ya tan familiar que en la simple vista de uno de ellos, se mos represente su significacion en el entendimiento sin mecesidad de ningun esfuerzo de atencion; y tomando por ejemplo el problema que nos propusimos al principio, es claro que este teorema puede traducirse en estos términos.

Circunferencia= Diámetro >< 3;

ya tendrémos una esposicion perfectamente idéntica á la anterior, pero concebida en términos mas sencillos. La idea de contraer mas la ecuacion abreviando la escritura de las palabras circunferencia y diámetro

se ofrece naturalmente, y podrémos por consiguiente escribir

Grc Diam:^^:

y como basta la letra inicial para representar en la memoria el nombre entero, podremos tambien simplif,car esta espresion en

C = Dx3^(

que precisamente es una fórmula algebraica cuyo sentido es fácil comprender.

Esta especie de lenguage se comprenderá mejor con otros ejemplos.

Segundo problema. En una série de términos que conserven sucesivamente entre sí la misma diferencia, como la siguiente cuya diferencia es 4:

3, 7,11, 15, 19

se pide el valor del centésimo término de esta progresion. Sin duda para obtenerle podria prolongarse esta progresion hasta el centésimo término pedido , pero podemos evitar la incomodidad de un cálculo tanto mas largo, cuanto el término que se busca diste mas del primero. El Álgebra nos enseña que en toda progresion que crezca sucesivamente en una misma cantidad, el último término es igual al primero, mas el producto de la diferencia constante por el número de términos anteriores á él. Esta proposicion puede escribirse de este modo con el auxilio de los signos convenidos

Ult. térm.—Prim. térm.-\-dif.y^(núm. determ.—uno) ó de un modo mas abreviado,

z a-\.d fn—1), designado por z el último término desconocido, por a el primero, por d la diferencia constante de la serie, y en fin, por n el número total de los términos, y considerando la progresion formada de las cantidades a , b, c.... z , en número llamado n y creciendo perpetuamente de la cantidad d.

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