3.7.4 indica la misma operacion que 37X4. 49 Asimismo hay dos modos de escribir la division; á saber separando el dividendo del divisor con dos puntos como 12: 4, que es el cociente 3 de la division de 12 por 4; ó bien escribiendo 12 á la manera de las fracciones, pues se sabe que esta fraccion 12 es lo mismo que 3, cociente de 12 dividido por 4, ó una de las partes del 12 dividido en 4 iguales.

5. El signo, que se llama igual espresa la igualdad de dos cantidades ó magnitudes entre las que se halla colocado; como 32-4-2×14; pues efectivamente las dos cantidades 32-4 y 2x14 forman una y otra 28. Asimismo 15:3-1-2 × 2, porque estas dos cantidades hacen 4. Se da el nombre de ecuacion, á toda espresion en que entre el signo de igualdad; la parte que está á la izquierda del signo se llama primer miembro, y la que está á la derecha se llama segundo miem

bro.

6o Cuando una cantidad se multiplica por si misma una ó mas veces, como 2 x 2×2×2 se abrevia esta escritura indicando con un guarismo el número de veces que esta cantidad está repetida por factor, y escribiéndose á la derecha un poco mas arriba; asi en lugar de 2×2×2×2 se escribe 24, para designar que es menester multiplicar el 2 cuatro veces por si mismo para que resulte 16. Por lo mismo 4x4x4, 6 43=64.

El guarismo colocado de este modo á la derecha y un poco mas alto se llama esponente, y asi 4 se dice qué está elevado el 4 á la tercera potencia.

Cuando el número está solo multiplicado por si mismo como 4x4, ó 42=16, el resultado se llama cuadrado; y si este esponente es 3, como en 2x2x2, ó 23-8 toma el nombre de cubo. Estas dos denominacio

TOMO II.

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nes, derivan de propiedades geométricas en las que es supérfluo nos detengamos.

79 Por el contrario, siempre que se nos dé una po tencia tal como 16 que es la cuarta potencia de 2, po→ demos proponernos hallar este número 2 que es la raiz cuadrada de 16. Asimismo 64 tiene por raiz tercera ó cúbica el número 4, porque 4 elevado á la tercera potencia ó al cubo, reproduce 64, ó 43=64. Asi como en la division se tiene por objeto deshacer lo hecho por la multiplicacion, de igual modo la estraccion de raices es la operacion inversa de la elevacion á potencias. Para indicar que se quiere estraer la raiz de un número, se usa el signo colocado delante de él; entre los brazos de este signo, que se llama radical se pone el guarismo que espresa el grado de la raiz. Asi se escribirá 82, porque en efecto si se hiciese el 2 tres veces factor de si mismo produciria 8, y por consiguiente el 2 es la raiz cúbica ó tercera de 8. Igual+ mente 81-3, porque 3×3×3×3, 6 34-81. Nada es mas obvio que elevar un número dado á sus potencias sucesivas, porque no se trata de otra cosa que de hacer muchas veces consecutivas la multiplicacion. Mas la estraccion de raices ofrece dificultades muy superiores, y en la Aritmética se dan reglas para obtener estos resultados.

Cuando la raiz lleva el guarismo 2 se omite ordinariamente en la escritura; asi 49 equivale á 49, que es=7, √49=7.

Tales son los siete signos principales que usa el Algebra, y que generalmente se introducen tambien en los cálculos aritméticos porque abrevian el discurso y la escritura; y como el sentido que se les da es sencillo y preciso, no pueden inducir á confusion ni incerti

ALG

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bumbre, pues por largos y complicados que sean los cálculos consecutivos, con el auxilio de estos signos, se puede facilmente formar su cuadro general, de modo que se puedan volver á hallar sus elementos.

Esta manera de escribir los cálculos ántes de efec→ tuarlos, tiene ademas la ventaja de manifestar inmediatamente las principales reducciones de que es susceptible la operacion, y de abreviar por consiguiente su estension. Por esto, ántes de emprender los cálculos

9×170×356

indicados por

15×4×17

observo

que el 9 puede

reducirse á su tercio 3, siempre que se reduzca el 15

tambien á su tercio 5 de donde resulta

3×170×356

5×4×17

Puedo tambien suprimir el factor 17 que entra en el denominador y en el 170 del numerador, é igualmente 10

arriba y 2 veces 5 abajo, quedándome entónces

3×356 2

6 3×178, que todo es igual á 534, como puede comprobarse.

Cuando muchas operaciones deben sucederse en un órden determinado, se encierran dentro de paréntesis las partes que han de evaluarse primero ántes de emprender los demas cálculos. Por ejemplo, en esta espresion

(562-12) (234+66)×2, 43

(8261-161)×5

Se harán primero aparte las operaciones que los diferentes paréntesis encierran para sacar las cantidades que espresan, á saber, 562-12=550, 234+66= 300,8261

-161 8100: se substituirán estas partes por sus valores reducidos, y tendrémos

de modo que hecho todo el cálculo, el resultado numérico 9,9 equivale á la espresion complicada que habia al principio.

Puédense ademas facilitar los cálculos, suprimiendo el factor 5 en 550 y el 300 en 8100, lo que hubiera da110×2,43

do

27

-: tambien podia haberse tomado el noveno

de 2,43 y de 27, de lo que hubiera quedado y aun en fin, 110x, 099,9, como ántes.

110 × 0,27 3

Se da el nombre de fórmula á toda espresion compuesta de signos, que anuncien como las anteriores, una série de operaciones que se hayan de ejecutar.

Supongamos ahora que el uso de los diversos signos cuya naturaleza y objeto hemos espuesto, nos sea ya tan familiar que en la simple vista de uno de ellos, se nos represente su significacion en el entendimiento sin necesidad de ningun esfuerzo de atencion; y tomando por ejemplo el problema que nos propusimos al principio, es claro que este teorema puede traducirse en estos términos.

Circunferencia Diámetro 34;

ya tendrémos una esposicion perfectamente idéntica á la anterior, pero concebida en términos mas sencillos. La idea de contraer mas la ecuacion abreviando la escritura de las palabras circunferencia y diámetro se ofrece naturalmente, y podrémos por consiguiente escribir

y como basta la letra inicial para representar en la memoria el nombre entero, podrémos tambien simplificar esta espresion en

C=D× 34,

que precisamente es una fórmula algebraica cuyo sentido es fácil comprender.

Esta especie de lenguage se comprenderá mejor con otros ejemplos.

Segundo problema. En una série de términos que conserven sucesivamente entre sí la misma diferencia, como la siguiente cuya diferencia es 4:

3, 7, 11, 15, 19. . . .

se pide el valor del centésimo término de esta progresion. Sin duda para obtenerle podria prolongarse esta progresion hasta el centésimo término pedido, pero podemos evitar la incomodidad de un cálculo tanto mas largo, cuanto el término que se busca diste mas del primero. El Álgebra nos enseña que en toda progresion que crezca sucesivamente en una misma cantidad, el último término es igual al primero, mas el producto de la diferencia constante por el número de términos anteriores á él. Esta proposicion puede escribirse de este modo con el auxilio de los signos convenidos

Ult. térm. Prim. térm.+dif.×(núm. determ.—uno) ó de un modo mas abreviado,

z=a+d(n-1),

designado por z el último término desconocido, por a el primero, por d la diferencia constante de la serie, y en fin, por n el número total de los términos, y considerando la progresion formada de las cantidades a, b, c.... z, en número llamado n y creciendo perpetuamente de la cantidad d.