Imágenes de páginas
PDF
EPUB

En el ejemplo propuesto, a designa el primer término 3, d ó la diferencia es 4, y como se suponen 100 términos, n es 100; substituyendo á muestras letras sus valores actuales se tendrá z=3+4 x (100—1)=3 + 4 ><99=399; luego el centésimo término pedido es 399. En toda otra progresion de la misma naturaleza, esta fórmula mos daria á conocer el valor del último término; substituyendo en vez de las letras a d y n los valores que se les hayan impuesto. Asi para hallar el 300"o término de la serie, 5, 7, 9, 11, 13. . . . . . se hará a = 5, d=2 y n = 300, y el término pedido será z= 5 +-2 >< 299 = 603. Estos problemas están resueltos segun vemos por los mismos procedimientos y con igual facilidad que podria hacerlo un matemático ejercitado, bien que este tendria sobre nosotros la ventaja de comprender las razones porque se obtiene la fórmula, de conservar el hilo que le guia en el cálculo, y poder hallar todas las fórmulas propias á las diversas especies de problemas que le ocurran. Tercer problema. Dados dos números cuya suma sea 15 y su diferencia 3, se pregunta cual es el valor de cada uno. Sin detenerme en hacer aqui razonamiento alguno supongo que un hombre versado en Álgebra me da el procedimiento del cálculo correspondiente al problema propuesto, en estos términos: Súmense los dos números, 15 +-3= 18, la mitad 9 de esta suma seria la mayor de las cantidades pedidas: restense luego los mismos números 15 —3= 12 , y la mitad de la diJerencia 6 será la menor de las dos cantidades desco

nocidas. En efecto los números 6 y 9 satisfacen á las condiciones impuestas, pues su suma es 15 y su diferencia 3: y si se me asegura que este órden observado en los cálculos conviene tambien á otros problemas de la misma naturaleza, pero en los cuales la suma 15 y la diferencia 3, estén remplazadas con otros datos, puedo con el auxilio de los signos algebráicos espresar la solucion de todas estas cuestiones de este modo

A o á la suma-- la diferenci el mayor número desconocido = la suma-- C

la suma—la diferencia el menor número desconocido= "", 2 ;

ó abreviando estas fórmulas 2
may. desc. = SILI71, + dif: 2.
men desc. =o = dif:
2
ó tambien may. = 7
* s d

[ocr errors][merged small]

Estas dos fórmulas me dicen lo mismo que el enunciado escrito con toda estension, como lo está al principio, y en ellas veo de una vez el sistema de operaciones que debo hacer, para responderá las cuestiones de esta naturaleza. Si me dicen, por ejemplo, que dos hermanos, tienen 28 años por suma de sus dos edades, y que el mayor tiene 4 años mas que el otro, observaré que la suma designada por la letras, es en este caso 28; que la diferencia espresada por la letra d es 4, y que remplazando estas letras por sus valores numéricos tendrémos,

[ocr errors]
[ocr errors]

de donde resulta que el mayor tiene 16 años, y el memor. 12. El problema queda ya resuelto; y aunque nos falte el hilo que nos conduzca al artificio del razonamiento que demuestra la exactitud y verdad de estas soluciones, estamos seguros de que los números 16 y 12 satisfacen al problema propuesto, pues que su suma es 28 y su diferencia 4. Hay mas, el matemático mas ejercitado no podria resolver esta cuestion sino por los mismos cálculos, y no tendria sobre el ignorante otra ventaja que la de comprender las razones de estas operaciones. Cuarto problema. Propongámonos cortar en cinco arcos iguales una circunferencia ABEC (lám. x1, fig. 6) en que la longitud AC del radio sea dada, de modo que uniendo de dos en dos los puntos de division, se forme un pentágano regular ABDEF inscrito en el circulo. - La Geometría nos enseña que la cuerda AB, lado de este pentágono, se obtiene multiplicando la longitud AC del radio por el número 1,1756; á saber: . Lado del pentágono regular inscrito = 1,1756xpor. el radio del círculo, ó mas sencillo. P = 1,1756 ><R, representando abreviadamente el lado pedido por P, y por Pi el radio del círculo. Por ejemplo, para cortar en cinco arcos iguales una o circunferencia que tenga 4 decímetros de radio, multiplicarémos 4 por 1,1756, y tendrémos 4,7024, ó pro

[graphic]

_ í7 centímetros; tomando esta distancia por en un compas y llevándola cinco veces exacíte sobre la circunferencia propuesta ABDEF, de modo que la quinta vez vuelva la punta del compas al punto por donde empezó , tendremos la circunferencia dividida en las cinco partes pedidas , y uniendo entre si estos puntos con lineas rectas, quedará trazado el

Si se quisiera dividir la circunferencia propuesta en siete partes iguales, esta fórmula no seria aplicable sino despues de baber sustituido el valor 1,1756 del factor en 0,8678; de modo que la ecuacion que conviene al polígono regular inscrito de siete lados, es P = 0,8678 xR.

radio, ó P=:R, abriéndose el compas con la misma medida que sirvió para trazar el círculo, y llcvánd ola seis veces justas sobre la circunferencia, quedará construido el exágono por la union de los puntos de division.

Para el octágono, sirve esta fórmula P — 0,765¿xR.

Para el decágono, esta. . • . . P = 0,6180xR.

Para el dodecágono, esta. . . . P = 0,517 6 x R.

En general para cada polígono regular es menester tomar por factor de R el número conveniente; este factor numérico es lo que se llama un coeficiente, y representándole por a, la longitud de un lado de polígono regular inscrito en el círculo será P = a X R , tomando por a el número que conviene á cada uno. En vez de escribir P=:a x R, suprime comunmente el signo x y se escribe P zz a R; pero es menester que este signo se sobreentienda y no olvidarse de repetirlo en el pensamiento siempre que se sucedan muchas letras sin la interposicion de -f- ó de —; en curo caso, ia falta de signo tiene la misma significacion que el mismo signo X. Sentemos pues

[graphic]

para determinar la longitud del lado de un polígono regular inscrito en un circulo cuyo radio sea R, siempre que se tome

o = 1,7321 en el triángulo equilátero. ó arco de 120° « = 1,4142 en el cuadrado inscrito. . ó arco de 90° a = 1,1756 en el pentágono reg. inscrito, ó arco de 72° o = 1 ,0000 en el exágono ó arco de 603

[ocr errors]

a 0,8678 en el eptágono.
o = 0,7654 en el octágono.
o = 0,6840 en el eneágono.
0 = 0,6180 en el decágono.
o = 0,5635 en el undecágono.
0 = 0,5176 en el dodecágono.

Quinto problema. Hallar los metros cuadrados tenidos en la circunferencia de un círculo cuyo sea de 8 metros y T| , ó 8,3? Este problema se reduce á hallar la superficie de un circulo de un radio dado, y la Geometría enseña que es menester cuadrar el radio, y multiplicar este producto por 3*, á saber:

Superficie del circulo = 3-§-x Radio cuadrado 6 " S=:3$xR*

representando por S la superficie pedida, y por R el radio. En nuestro ejemplo R = 8,3 da

S = 3£x8,3x8, = 3f x68,89 = 216,51; y por consiguiente nuestro círculo tiene 216 metros cuadrados y 51 centésimos de metro cuadrado (que valen 51 decímetros cuadrados, pues el metro tiene 100 de estos decímetros).

« AnteriorContinuar »