Para otro círculo que tuviese por ejemplo 14 decímetros de radio se hallaria igualmente

S=3x14234×196616;

teniendo pues este círculo 616 decímetros cuadrados, ó 6 metros cuadrados y 16 decímetros tambien cuadrados.

Sexto problema. Una caldera proximamente cilíndrica tiene 13 decímetros de ancho y 8, 3 de profundidad, se pregunta cual es su capacidad, esto es cuantos litros ó decímetros cúbicos puede contener. Por Geometría se sabe que el volúmen de un cilindro es el producto del círculo que le sirve de base multiplicado por su altura, y es fácil observar que este volúmen se halla multiplicando esta altura por el cuadrado del radio y tambien por 34, á saber.

ό

Vol. cilind. 34 × Radio cuadrado x Altura,
V. 34 × R2 A

siendo V el volúmen del cilindro, A su altura y Rel radio de su base. Bien entendido que estas dos últimas dimensiones deben medirse por la misma unidad, por ejemplo en decímetros. En nuestro problema, el radio A de la caldera es de 6, 5, y la A de 8, 3: por lo cual

V=34×6, 52× 8, 3.

He aqui el método que se ha de observar en estos cálculos:

ó 1102 decímetros cúbicos y 121 centímetros tambien cúbicos: la caldera contiene por consiguiente algo mas de 1102 litros ó de 11 hectolitros.

Obsérvase que en estos diversos problemas y en los siguientes, el coeficiente 34, que es el empleado mas ordinariamente, no tiene mas que una aproximacion algo distante, y por lo mismo conviene remplazar le por 3, 14159 cuando se quieren obtener resultados mas precisos.

y

Séptimo problema. Aforar un tonel. La regla que se acostumbra seguir en la precepcion de derechos, consiste en medir las dos latitudes del tonel en el círculo que le sirve de base y en el que pasa por el agujero por donde se llena: la una es el diámetro del fondo, la otra el de la comba; estas medidas se deben tomar del interior del tonel cuya capacidad se quiere medir. Añádase el diámetro del fondo al duplo del diámetro de la comba y cuádrese esta suma; multipliquese despues este cuadrado por la longitud del tonel y por 0, 0873; el producto será el volúmen del líquido contenido en el tonel. Espresando esta regla algebraicamente, será: capacidad 0,0873 × longitud × (diám. men. +2 diám. may.) 2; ó mas sencillo,

C=0,0873xLx (d+2D)2, designando por L la longitud del tonel, por d y D los diámetros del fondo y de la comba, espresados en la misma unidad lineal; C será la capacidad pedida en unidades cúbicas de la misma especie.

Si por ejemplo el tonel tiene 11 decímetros y de largo, ó sea 11,4, y sus dos diámetros 9, 7 decímetros y 8,8, la fórmula será

C=0,0873×11,4× (8,8,+2×9,7)2=0,0873×11, 4× (28,2)2.

cuadrado de 28,2.

Multiplicado por 11,4, producto.

795,24

=9065,736

Multiplicado en fin por 0,0873, producto. 791,44. Por consiguiente el tonel contiene 791 litros y medio proximamente.

Este ejemplo manifiesta que no solamente pueden aplicarse las fórmulas algebráicas á los casos á que conciernen aun sin saber obtenerlas, sino que es mas fácil leer y comprender el sentido de una fórmula, y penetrarse del espíritu de los cálculos que prescribe, que el recurrir á los enunciados de los teoremas en el lenguage ordinario, que por lo general son difusos y complicados.

Problema octavo. Hallar el volúmen de un cono. Tómese la superficie del círculo de su base y multipliquese por el tercio de la altura; tal es la regla prescrita en Geometría, la cual es equivalente á multiplicar el cuadrado del radio de la base por el tercio de 34 y luego por la altura del cono, lo que se espresa asi: el volúmen de un cono es el producto del cuadrado del diámetro de su base, multiplicado por la altura y por 0,2618, Vol. con.=0,2618 × Diam2 × Alt.,

C=0,2618 × D2A;

siendo D el diámetro, A la altura del cono espresados en una misma unidad lineal; C será el volúmen, en unidades cúbicas de la misma especie. Si por ejemplo un pan de azúcar tiene por latitud de su base 2,4 decímetros, y 4,1 por altura, su volúmen en decímetros cúbicos será

C=0,2618×2,42 × 4,1 0,2618x 5,76x4,1,

ó en fin; hecho todo el cálculo, C6,183; siendo por consiguiente el volúmen pedido de 6 decímetros cúbi183 centímetros tambien cúbicos.

Problema noveno. Hallar el volumen de un cono truncado de bases paralelas. Sin detenernos á enunciar el teorema geométrico que se refiere á esta cuestion, la escribirémos inmediatamente en el lenguage algebraico: Volumen del cono truncado=0,2618 × Altura × ( suma de los diam.2-prod. de los diam.)

ó mas bien

V=0,2816 A ((D+d)2—Dd),

siendo D y d los diámetros de las dos bases paralelas opuestas del cono truncado, A la altura perpendicular у V el volúmen.

Un cubo para sacar agua, que tiene la figura de un cono truncado de 2,9 decímetros, y de 2,3 de ancho en la parte superior y en la inferior, y su profundidad es de 3 decímetros; cual será su volúmen? Hágase D= 2,9, d=2,3, y A≈3, y tendrémos

V=0,2618x3x(5,22-2,9 × 2,3).

27,04

6,67

=20,37

.=61,11

En fin, multiplicado por 0,2618 prod. =15,999. Este es pues el volúmen pedido, ó á muy poca diferencia 16 litros. Si se quiere saber cuantos cubos de estos contienen el tonel aforado en el problema 79, basta dividir por 16 la capacidad 791,44 que se obtuvo entonces, y el cociente 49,5 espresa que este tonel contiene 49 cubos y medio.

Problema décimo. Hallar la superficie de una esfera. La Geometría nos enseña que esta superficie es cuadrupla de la de un círculo del mismo radio; y asi multipli cando por 4 el valor dado en el 59 problema tendrémos

Sup. esf.=4×3× Rad.2,

ó mas exactamente=12,5664 × R2 3,1416 × D2 · Problema once. Hallar el volúmen de una esfera. Siendo este volúmen el producto del número 0,5236 multiplicado por el cubo del diámetro, este teorema se indica asi

Vol. esf.=0, 5236 × D3

No espresamos las aplicaciones numéricas de estas fórmulas porque sus cálculos son muy sencillos, y preci→ samente de la misma clase que en los problemas 5,6.... pudiendo hallarse tambien ejemplos de esta especie en la tabla formada en el artículo de los aerostáticos. La superficie de la esfera se espresa en cuadrados y el volúmen en cubos cuyo lado es la linea que se ha tomapor unidad en la medida del radio ó del diámetro. Si esta unidad es el decímetro, la superficie será el decímetro cuadrado, cuyo céntuplo forma el metro cuadrado; el volúmen es el decímetro cúbico, debiendo haber mil para componer el metro cúbico.

do

Propongamos ahora algunos ejemplos sacados de la Mecánica y de la Física.

Problema doce. Se pide determinar el peso de un cuerpo cualquiera sin haber de pesarle, y por el solo conocimiento de su volúmen y de la sustancia de què está formado.

Recordemos ántes que el kilogramo es el peso de un litro o decímetro cúbico de agua, y que un centímetro cúbico de agua pesa un gramo. Para que esta proposicion sea verdadera rigorosamente, es menester que este líquido esté en estado de pureza y en la temperatura de 40 del termómetro centígrado; sin embar¬ go, como los diferentes pesos que toma el agua apartándose de estos estados, son muy pequeños en los lí