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¿AP

B(a+b)

;

Pb (A+B)

el peso

de la sal producida es

B(a+b).

2o Qué cantidad de sal propuesta es necesaria para saturar en totalidad un peso P' de ácido? Tómese de esta sal el peso

BP'(a+b)
Ab

:

y se obtendrá un peso de la nueva sal =

las

(A+B) P

A

Hagamos ahora algun as aplicaciones de estas fórmupara enseñar su uso.

El muriato de sosa está formado de 100 de ácido muriático (*) sobre 86, 38 de sosa, si se quiere descomponer esta sal por el ácido sulfúrico para formar sulfato de sosa, sal que sabemos está compuesta de 100 de ácido sobre 78,187 de sosa; es ante todas cosas evidente que se tendrá

a=A=100,

b=86,38, B=78,187. 19 Si se quiere hallar la cantidad de ácido sulfúrico que se ha de emplear para 25 kilógramos de muriato de sosa, se tendrá P=25, y las dos primeras fórmulas se convertirán en

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(*) Aunque el cuerpo que se ha de descomponer no sea una verdadera sal sino un cloruro de sodio tomado, en estado de sequedad, le consideramos aquí como un muriato de sosa, para hacer comprender el ejemplo numérico: las fórmulas anteriores son generales y reciben aplicacion en todas las descomposiciones de compuestos binarios por otras sustancias.

Luego son menester 14,82 kilógramos de ácido sulfúrico para descomponer completamente los 25 kilógramos de muriato de sosa, y formar 26,40 de sulfato de sosa. Obsérvese que este ácido lo suponemos en estado de sequedad, bajo el cual no puede existir; igualmente sometiendo la sal á su accion, es preciso no contar el agua que contiene, y cuya cantidad depende de su estado de concentracion. Asi es, que cuando el ácido sulfúrico está concentrado, como se sabe que contiene el quinto de su peso de agua, en lugar de 15 kilógramos se necesitan tomar 18,75 que, deducido su quinto, no representa en efecto mas que 15 kilógramos de ácido seco.

2o Se pide que el ácido empleado pese 20 kilógramos (suponiéndole primero desprendido de agua y reducido, por el cálculo, al estado de sequedad). Se tendrá P' 20, y las dos últimas fórmulas se convertirán en

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Asi pues es preciso combinar los 20 kilógramos de ácido sulfúrico (suponiéndole seco) con 33,74 kilógramos de muriato de sosa, y se obtendrán 35,64 kilógramos de sulfato de sosa, considerado como desprendido de su agua de cristalizacion. Sabemos que esta sal la contiene hasta 56 centésimos de su peso, de modo que el peso de la sal cristalizada resultante de la accion, no es 35,64, sino 81, pues quitando de estos números fo por el agua de cristalización, se reproduce la primera. Propongamos todavía otro ejemplo sacado de las dobles descomposiciones.

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El acetato de cal se forma de 100 de ácido acético, sobre 53,58 de cal. El sulfato de sosa tiene la propiedad de descomponer esta sal; el ácido sulfúrico se apodera de la cal y forma sulfato de cal que se precipita, mientras que el ácido acético se une con la sosa para hacer acetato de sosa. Se pregunta que cantidad de sulfato de sosa debe emplearse para descomponer completamente 6 kilógramos de acetato de cal? Supongámos que se quiera formar sulfato de cal poniendo ácido sulfúrico en acetato de cal; como sabemos que el sulfato de cal está formado de 43 de ácido sulfúrico sobre 33 de base; nuestros datos serán

a=100, b=53,58, A =43, B=33, P=6. Y nuestra primera fórmula se convertirá en

13823,64

53,58x43x6
33×153,58 5068,14

=2,72;

esto es, que son menester 2,72 kilógramos de ácido sulfúrico para obrar la completa composicion del sulfato de cal que pueden dar 6 kilógramos de acetato de cal. Pero si no es ácido sulfúrico el que quiera emplearse en esta formación, sino sulfato de sosa, que sabemos que no contiene mas que 56,12 de ácido sobre 100, cuando está privado de su agua de cristalizacion; no representando 100 en peso realmente mas que 56,12 de ácido, una simple proporcion basta para dar á conocer que en lugar de emplear 2,72 de ácido sulfúrico, es menester servirse de 4,84 de sulfato de sosa. Es sabido que esta doble descomposicion que produce acetato de sosa, sirve despues para formar ÁCIDO ACÉTICO concentrado. (V. esta palabra).

Sobre algunos cambios de que son susceptibles las

ecuaciones.

Lo que acabamos de decir hace inteligible el objeto

que se propone el Algebra. Esta ciencia enseña á resolver todos los problemas sobre los números, la estension, etc. en su mas general acepcion; esto es, no se limita solo á dar la solucion de tal problema único de Geometría ó Aritmética, sino que indica por que procedimientos del cálculo se obtiene esta solucion: de modo que la fórmula á que conduce no tanto espresa el valor de la incógnita en números ó lineas, como las operaciones que se han de hacer para conseguir este valor; operaciones que dependen de las reglas ordinarias de Aritmética. En otra cuestion de igual naturaleza que la que se ha considerado algebráicamente, estas operaciones se efectuarian del mismo modo, aunque aplicadas á los nuevos números que se dan en esta cuestion. Obtenida una vez la fórmula, todos los problemas que no difieren entre si mas que por estos datos, se resuelven por esta seria de cálculos que se han de ejecutar, sin que sean ya necesarios nuevos razonamientos para obtener las soluciones; no hay que hacer otra cosa que efectuar maquinalmente una serie de combinaciones numéricas, ahorrándose los razonamientos precisamente como se evitan en la práctica misma de los cálculos. Quien cuida cuando hace una division de reproducir las formas lógicas que sirven para demostrar el modo de estas operaciones? Solo se sigue una marcha habitual de cálculos que se practican con rapidez y casi por rutina. El Algebra ofrece la misma ventaja en el arte de resolver problemas, y en esto consiste su grande utilidad. Sin comprender las verdades algebraicas, cualquiera puede muy bien servirse de ellas con la misma destreza que los mas hábiles matemáticos.

Mas para conseguir de esta ciencia todas las utilida

des de que es capaz, es evidentemente necesario un profundo estudio de sus doctrinas. No obstante esto, con el auxilio de algunas proposiciones podrémos estender mucho los usos espuestos anteriormente, lo que nos determina á añadir aun algunas nociones fáciles de comprender.

Hay ciertas variaciones que nos es permitido hacer sufrir á las ecuaciones, sin que por esto alteren la igualdad que espresan.

1o Puede un término cualquiera cambiar de miembro con tal que cambie en el opuesto el signo de este término. Por ejemplo en la ecuacion 4 x-3=4+3x podemos disminuir ó aumentar en una misma cantidad las dos partes iguales 4x-3 y 4+3x sin que se altere su igualdad. Si añadimos 3 á una y otra, la primera se convertirá en 4x-3+3, ó 4x, porque la adicion y sustraccion sucesivas de 3 trae consigo la destruccion de estos dos números. Asi resulta

4x=4+3+3x=7+3x,

donde vemos comparando esta ecuacion con la primitiva que el término-3 ha cambiado de miembro, pero tambien de signo tomando su opuesto. Lo mismo sucederia si de las dos partes ó miembros de esta última ecuacion se restase 3r; entónces resultaria

4x-3x-7,

y ejecutando las operaciones que los signos indican, la ecuacion se reduciria á 4x-3x=7 y el término + 3x se habrá convertido en 3x pasando del lado derecho al izquierdo, siendo en último resultado x=7. Estos razonamientos prueban el principio enunciado, y esto es lo que se llama trasposicion de los términos. Es claro que si z designa una cantidad desconocida, por las trasposiciones se

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