movimiento de un cuerpo, formando un ángulo qualquiera entre sí, podemos substituirles otra tercera única, y al contrario toda potencia única como F podemos descomponerla en otras dos, que en el mismo tiempo produzcan igual efecto. En el primer caso la potencia resultante se podrá expresar por la diagonal del paralelogramo formado sobre sus direcciones, y en el segundo la potencia única se podrá descomponer en los lados de un paralelogramo de quien la fuerza única resulta tambien diagonal.

37 En medio de esto debemos tener presente, que la suma de las dos fuerzas reunidas P y p, que se necesitan en la figura citada para componer la otra única F, es siempre mayor que la última que nos resulta, y al contrario: una fuerza compuesta es siempre menor que la fuerza de aquellas en que se descompone. Esto se presenta evidentemente en la Lam. I. fig. 2.; porque la base C B debe ser menor que la suma de los dos lados C D,y D B. Por consiguiente podemos substituir dos fuerzas á una sola, ó al contrario; pero teniendo presente siempre, que las dos reunidas han de ser mayores que la única, é inversamente, para conseguir iguales efectos en ambos casos.

opues

38 La diversidad del ángulo P C p, que formen las dos direcciones que concurren al movimiento del cuerpo C, variará los efectos del movimiento de dicho cuerpo. Porque en el caso de ser el ángulo PC p de la Lam. I. fig. 2. de 180° las potencias P yp obrando , tamente á lo largo de una misma recta, si son iguales dexarán el cuerро C inmovil como vimos (art. 34.); y si desiguales, el el cuerpo C se moverá en la direccion de la mayor potencia, con una cantidad de movimiento correspondiente al exceso de dicha mayor potencia sobre la menor. Si por el contrario el ángulo PC P resultase cero, las dos potencias P y pobrarian en el propio sentido á lo largo de una misma recta, y el movimiento del cuerpo C resultaria proporcional á la suma de ambas.

39 Un cuerpo impelido á la vez por muchas potencias, que obran en direcciones diferentes en un mismo plano, se mueve como si solamente se hallase impelido por una sola fuerza, equivalente al efecto de los esfuerzos reunidos de todas las potencias supuestas, y participa, en quanto es dable, de la direccion de cada una de ellas. Supongamos, por exemplo, que quatro fuerzas impelan á la vez á un cuerpo C (Lam. I. fig. 3.), de suerte que en igual tiempo, la primera sea capaz de hacerle describir el espacio C D, la segunda el C A, la tercera el CE, la quarta el CG; el cuerpo se moverá uniformemente

segun la CH, cuya direccion participa, en quanto es dable, de las quatro CD, CA, CE, CG; su velocidad y fuerza nos la representará igualmente el espacio C H, que participa, en quanto es posible, de las velocidades y fuerzas representadas por las líneas CD, CA CE, CG. Para determinar la línea C H, importa construir el paralelogramo A D con los lados CD, y CA; la diagonal C B representará el efecto de la reunion de los esfuerzos CD, y C A. Considerando despues la diagonal C B como una sola fuerza, se construirá con dicha C B, y la CE, el paralelogramo E B; cuya diagonal CF representará el efecto de la reunion de los esfuerzos de C E, y de CB; esto es, de las tres primeras fuerzas. Por último, constrúyase con la C F, y la CG, el paralelogramo G F; cuya diagonal CH nos representará el efecto de las quatro fuerzas reunidas. En efecto, si en vez de principiar formando el paralelogramo con los lados CD, y CA, se principia formándolo con los C G, y CE, nos resultará la diagonal C K; y si con dicha, y con la C A, hacemos el paralelogramo C K JA, tendremos la diagonal C J; con la qual, y con CD, se hará el paralelogramo CJH D, que nos dará la misma diagonal C H. Tambien podria encontrarse igual resultado formando los paralelogramos AD, GE, K B.

les

40 Habiendo construido una figura que represente la posicion de todas estas diagonales, puede hallarse por trigonometría la relacion y direccion de la fuerza resultante C H. Sean los ángulos D C A de 56°, A C E de 45°, E C G de 28.o Las fuerzas ó espacios que son proporcionales, CD=10, CA=13, CE=14, CG=8. 1° En el triángulo C D B se conocen ; los lados CD= 10, DB=CA=13, y el ángulo C D B de 124°; porque es suplemento del ángulo dado DCA que es de 56.° Luego segun las reglas de la trigonometría, el ángulo B C D vale 31° 58', y C B, 20, 36. Restando de 56°, 31° 58′ quedan 24° 2' por el valor del ángulo B C A: si á este se le añade el ángulo A C E de 45°, la suma 69° 2′ compondrá el ángulo B C E. Pero á causa del paralelogramo B C E F, en el triángulo B C F conocemos; B C = 20, 36, B F = CE=14, y el ángulo C B F (suplemento de BCE) de 110° 58'. Por un cálculo semejante resulta el ángulo B C F de 27° 16', y el lado C F de 28, 54. Por último, sumando D C A de 56°, A CE de 45°, E C G de 28°, y de la suma 129° restando D C B de 31° 58', y despues B C F de 27° 16', nos queda F C G de 69° 46′; y en el triángulo F C H, á causa del paralelogramo F C G H, se conocen C F=28, 54; FH=CG=8, y

B

el ángulo comprehendido de 110° 14'. Luego por un cálculo semejante tendremos F CH de 13° 29', y CH-32, 19. Por consiguiente: si á D C F de 59° 14', se añaden 13° 29', resultarán 72° 43′ que es el ángulo D C H del camino que hace el cuerpo con la primera direccion C D; y el espacio que corre, es al espacio C D; como 32, 19 á 10.

41 Síguese de aquí, que qualquiera que sea el número de fuerzas que en un tiempo mismo obra sobre un cuerpo, se le puede reducir al número de tres, de dos, de una, ú otro que se quiera; y recíprocamente que no existe fuerza alguna la qual no podamos descomponer en un número qualquiera de fuerzas ; con tal que dichas fuerzas sean siempre lados de paralelogramos de los quales resulte diagonal la fuerza descompuesta.

42 Ά causa de P C (Lam. I. fig. 2. ) igual, y paralela á F p; ό de p C paralela, é igual á F P, es claro, que se pueden considerar los tres lados del triángulo F P C, ó los del Fp C como representantes de las dos fuerzas componentes, y de la compuesta. Podremos pues, muy bien, en vez de los paralelogramos, servirnos de triángulos para expresar la composicion y la descomposicion de las fuerzas.

43 Sentado todo esto, supongamos que á una fuerza dada F, se quieran substituir dos fuerzas P, p que produzcan el mismo efecto. Este problema encierra dos casos. Porque ó bien se da la posicion de las direcciones de estas dos fuerzas P, p, ó bien dichas fuerzas se representan por líneas de determinada extension.

Solucion del primer caso. Supongamos que la recta F C (Lam. I. fig. 2.) exprese la fuerza dada F; hágase en el punto C un ángulo p C P igual al ángulo que forman entre sí las dos direcciones dadas; pero teniendo presente el incluir la recta F C en dicho ángulo: por el punto F tírense las paralelas F p, F P á los lados P C, p C que forman el ángulo que acabamos de construir: por este medio nos resultará el paralelogramo P p cuyos lados P C, p C representarán las fuerzas de que se trata.

Demonstracion. Prolónguense indefinidamente las líneas p C, PC, F C; y tomando sobre esta última el punto B á nuestro arbitrio, hágase el paralelogramo A D. En este caso, supuesto que P F es paralela á p A, y BD áp A, la F P, y la B D serán paralelas, y los ángulos F P C, C D B iguales por alternos. Por igual razon, el ángulo alterno PFC=C BD; por consiguiente los triángulos P CF, B C D son semejantes; luego F C: CB:: FP, óp C: B D, ó CA:: PC:

CD. Pero la línea F C que es uno de los antecedentes nos representa una fuerza, luego p C, P C que son los otros antecedentes representarán asimismo fuerzas. Igualmente: C B conseqüente de la primera razon, representa el espacio que la fuerza dada F C hace correr al cuerpo C en un tiempo determinado; luego tambien los otros conseqüentes C A, C D representarán los espacios que las fuerzas p C, PC pueden hacer correr á dicho cuerpo; pero á causa que los espacios CB, CA, C D son proporcionales á las fuerzas F C, p C, P C, dichos espacios podrán describirse en el propio tiempo; por consiguiente la fuerza F moverá el cuerpo C de C para B, en el mismo tiempo que la fuerza p de C para A, y la fuerza P de C para D; luego la reunion de las dos fuerzas p, P produce el mismo efecto que la sola fuerza primitiva F; y por consiguiente pueden muy bien substituírsele.

44 Solucion del segundo caso, en el qual se supone que las fuerzas se representan por líneas de determinada extension como p C, y p F. Para que el problema tenga lugar es menester que la suma de ambas fuerzas sea mayor que la fuerza dada F C segun lo dicho (art. 37.)

Fórmese un triángulo F p C con las tres líneas dadas F C,p F, p C; y tírese la CP paralela á p F, y la F P paralela á p C; nos resultará un paralelogramo cuyos lados p C, PC, determinarán la direccion de las fuerzas que se buscan como evidentemente se echa de ver.

45 Teniendo presente la doctrina insinuada acerca de la composicion y descomposicion de las fuerzas, supongamos que se quiera mover un cuerpo ó plano E D (Lam. I. fig. 4.), por medio de una fuerza A C aplicada en su centro C, y que obra segun la direccion A C obliqua al mencionado plano. Dicha fuerza obliqua A C la podemos descomponer en las dos A E, y E C; la 1' perpendicular, y la 2a paralela á E D. Supuesta esta descomposicion, no hay duda que la fuerza absoluta A C producirá el propio efecto, respecto al movimiento del cuerpo C, que las otras dos A E, y EC en que la hemos descompuesto. En virtud de la fuerza E C el cuerpo debe adelantar de C para G, y en virtud de la A E de C para B. Por consiguiente: toda fuerza aplicada obliquamente á un cuerpo libre procura moverlo en dos sentidos; y de todo el esfuerzo absoluto A Cempleado para el movimiento del cuerpo C, en quanto á su adelantamiento en el sentido C B, obra la sola parte A E. Por consiguiente: si para el movimiento del cuerpo C en el sentido de la línea C B, empleamos una fuerza que obra segun la direccion obliqua A C, no

lograremos moverlo segun la C B en mayor cantidad de lo que hubiéramos conseguido aplicándole una fuerza menor F C perpendicular al cuerpo, y coincidente con la direccion del movimiento que se pretende. De aquí debe deducirse la prodigiosa variedad de movimientos que pueden resultar á los cuerpos, de resultas de la distinta obliquidad de una misma fuerza que se les aplique.

46 Acabamos de ver que de toda la fuerza absoluta A C aplicada al cuerpo C, sola la parte A E, ó su igual F C, contribuye al movimiento del cuerpo en el sentido C B. Por el contrario: si el esfuerzo absoluto que se emplea contra el cuerpo obra segun la direccion perpendicular F C, entónces el cuerpo se moverá en el sentido C B con todo el efecto de la tal fuerza absoluta. Sentado esto, se ve que los efectos que produce una fuerza absoluta que obra obliquamente contra un cuerpo, respecto á su movimiento segun el sentido perpendicular, serán á los de otra fuerza absoluta que obre perpendicularmente, como el seno del ángulo de la obliquidad al radio; y en la Lam. I. fig. 4. y caso propuesto, como sen A C E al radio.

47 Si en el triángulo rectángulo E A C hacemos la fuerza absoluta A C=ƒ, y el ángulo en A=♪, sacaremos la expresion de la fuerza paralela E C diciendo; R: sen ♪ ::ƒ: E C=ƒ sen ♪. Por el mismo estilo concluiremos la expresion de la fuerza perpendicular A E diciendo ; R: cos♪::ƒ: AE=ƒ cos♪.

De la gravedad.

48 Por gravedad se entiende aquella fuerza, que aníma á los cuerpos segun una línea vertical perpendicular á la superficie de las aguas, y la qual obra en el descenso de todos los cuerpos. Aunque la tierra, ó la superficie de las aguas no sean perfectamente esféri– cas; sin embargo podemos imaginar que lo son sin error sensible, y por consiguiente, que las direcciones de la gravedad concurren en el centro de la tierra. Tambien podemos suponer en el servicio de las máquinas, que las direcciones de la gravedad son paralelas entre sí y asimismo que dicha fuerza es igual en todas las alturas, ó profundidades en que podemos experimentarla para nuestros usos.

49 Importa concebir esta fuerza de la gravedad, como una fuerza que á cada instante actúa igualmente sobre cada una de las partículas de la materia. No hay duda, en que si cada una de las partes de un cuerpo recibe igual velocidad, el todo del cuerpo habrá de caminar con la propia velocidad que recibiria una qualquiera de sus