la superficie del plano. Supongamos pues que quando el plano A B forma el mencionado ángulo G Z H, está vencido el roce. Esto es, que el peso P queda en disposicion de correr hácia A, al efecto de un empuje infinitesimo que se le aplica paralelo al plano, de B para A, pasando por su centro de gravedad G. El ángulo pues L J Z, ó A B C, que forma el plano A B con la vertical B C, ó JZ, manifiesta la cantidad de inclinacion que se debe dar al plano A B, para que el determinado peso P venza el frotamiento; por este motivo se llama al tal ángulo, el del frotamiento. Por el menor pulimento del plano y cuerpo rozante, ó su menor dureza, ú otras circunstancias, puede necesitarse en distintas experiencias mayor, ó menor el ángulo A B C, á fin de que el roce quede superado. Para aplicar esto mismo al moton (Lam. IV. fig. 32.) represente A B H la circunferencia de la roldana, D M N la del exe que gira sobre C, K un punto donde se fixa un extremo de la cuerda, A Q manifieste la direccion de la potencia, y P el peso que se pretende suspender. Dicho peso gravita sobre la superficie del exe M N D segun la direccion vertical C P, del propio modo que el paralelepipedo D E gravita sobre el plano horizontal A B (Lam. IV. fig. 30.) Así para el perfecto equilibrio, ó para el caso que ni suba ni baxe el peso, importará que las direcciones de las potencias resistentes aplicadas en K, y en Q, igualen dicha gravedad, y ademas que reunidas en una sola, obren segun la propia vertical CP, pero en direccion de P para C, diametralmente opuesta á aquella segun la qual dirige sus esfuerzos el peso P. Sentado esto no hay duda, que así como en la Lam. IV. fig. 30. correria el paralelepipedo hácia A impelido del menor esfuerzo HC, si no hubiese roce, tambien el exe giraria segun la D M N sobre el punto C, al mas mínimo esfuerzo añadido en Q. Sin embargo, como no podemos prescindir del frotamiento, es menester que la direccion resultante P T C, no sea perpendicular á la superficie del exe en el punto del contacto, sino que se transforme en la P DE, la qual forma un ángulo agudo L D E, 6 PDT con dicha circunferencia, del propio modo que en la Lam. IV. fig. 31. la direccion Z J lo forma con la superficie del plano B A. Esto sentado, supuesto que L D E sea el ángulo del frotamiento para el caso de que hablamos, tiremos la recta C E perpendicular sobre la direccion P DE, y el radio C D del exe perpendicular á lá tangente L D T. Supongamos las siguientes denominaciones. El ra dio del exe C Dr, el de las tablas = 1, el ángulo del frotamiento LDE=f. Supuesto esto, en el triángulo D E C rectángulo en E, tenemos D C: E C:: 1: sen. E D C=cos. L D E, y poniendo las denominaciones anteriores, r: E C:: 1: cos. f. Luego E Cr cos. f. Represente Z aquella mayor fuerza que debe aplicarse en Q, á causa del estorbo del roce, para que la roldana quede en próxima disposicion de girar. SeaR el radio de la roldana. Como á causa del roce, se necesita para el perfecto equilibrio, el que el peso trabaje segun la direccion E P, la qual no pasa por el centro C del exe, tendremos que el momento con que se opone el peso al movimiento en virtud del roce, es P x C E. El aumento de fuerza que hemos empleado por dicho embarazo, hagámoslo Z, este obra al extremo de la palanca R radio de la roldana, luego su momento será R Z (art. 355.); pero para el equilibrio, el momento de esta potencia actuante ha de ser igual al de la resistente P×CE. Luego R Z=Px C E. Substituyendo en vez de C E su valor r cos. f, tenemos R Z=Px r cos. f, y Z= Prcos. f. Pero Z, es la adicion de fuerza que importa R aplicar en Q, á causa del roce; por consiguiente será esta tanto menor, quanto mas corto sea el radio r del exe, y mayor el de la roldana R; pues el primero entra en el numerador, y el segundo en el denominador del quebrado que expresa su valor. En breve veremos otro motivo para el aumento de las roldanas, deducido de la rigidez de las cuerdas, ó cabos de labor que las abrazan. pos, 139 Hasta aquí hemos supuesto indiferente, el que la roldana gire sobre su exe, ó bien este último sobre la caxera; sin embargo esta última disposicion será la mas ventajosa para el uso del moton, en el movimiento de pesos de abaxo para arriba. La madera en efecto de una roldana, no puede ser perfectamente homogénea en todas sus partes, esta falta de homogeneidad es general á todos los cueren los quales observamos constantemente, que estando expuestos en todos sus puntos á igual roce ó friccion, ceden, y se desmoronan en unos mas que en otros. De aquí resulta, que con el continuo uso, se agranda desigualmente el agujero de una roldana que gira sobre su exe, y su desigualdad añade nuevos obstáculos al movimiento. Ademas, siendo diverso el diámetro del agujero en sus puntos, son tambien distintos los radios de la roldana, y varía alternativamente la relacion de la potencia al peso, en el uso de ella. Estos inconvenientes no tienen lugar girando el exe; porque aunque el peso continuado de arriba para abaxo, haga mas profunda la mortaja ó hendedura de la caxera sobre la qual gira el exe, solo resulta que la roldana ha descendido algo, pero sus radios subsisten idénticos. 140 En conseqüencia de nuestras reflexiones sobre el frotamiento, hemos determinado los tamaños mas ventajosos del exe y la roldana, para disminuirlo. Ahora estableceremos algo acerca los materiales de que ambos deben componerse, á fin de disminuir el propio efecto. Para esto reflexionemos que dimanando el roce, dimanando el roce, ó el estorbo que encuentran para moverse unos sobre otros los cuerpos aun los mas pulidos, del encaxe de sus elevaciones, sobre las porosidades ó cavidades mútuas, es natural discurrir que las materias homogéneas, como dos planchas de azero ú otro material, habiendo sufrido igual pulimento, guarden uniformidad en la figura exterior de sus superficies esto es, que las elevaciones de la que insiste, correspondan casi una por una á las cavidades de la sustentante. No parece que debe suceder lo propio con tanto rigor, siendo las planchas ó planos de materias diferentes; pues la diversa textura de dichas nos da motivo para congeturar que no afectarán uniformidad rigurosa sus superficics exteriores, y así es natural que en igualdad de circunstancias no endenten tan perfectamente unas con otras las desigualdades de materias diversas, como las de una misma; y consistiendo en esto uno de los estorbos que el roce opone al movimiento, debemos pensar que el roce será menor, quando el cuerpo que resbala ó gira es de materia diversa de aquel que lo sostiene. Esta ilacion la manifiesta la experiencia, cuyos resultados hacen ver, que una plancha de cobre halla ménos estorbo en resbalar sobre otra de azero, que no otra de azero &c. En atencion á esta última advertencia, convendrá el que las maderas ó metales de los exes, roldanas y caxeras que componen un moton, sean diversos el uno del otro. Esto mismo se tiene presente á bordo, donde en lo general es siempre diferente la madera de las roldanas de la de sus caxeras. 141 Las materias mas duras admiten mayor pulimento que las blandas; en virtud de lo qual parece que convendria substituir las roldanas de bronce ú otro metal á las de madera, quando su extraordinario peso ú otras miras no lo contradixesen. En las roldanas que corresponden á los propaos del alcazar y castillo y otros parages, no tiene lugar el inconveniente del peso, y así suelen ser la dichas de metal. Los demas medios de disminuir el roce puliendo las superficies, ó bien untándolas con aceyte, sebo ú otras materias, son harto conocidos para detenernos sobre ellos. CAPÍTULO v. De la rigidez de las cuerdas. De las reflexiones que hemos hecho acerca del roce, 142 hemos concluido el radio de los exes y roldanas, y el material de su construccion mas á propósito para disminuir el mencionado estorbo. Ahora consideraremos otro embarazo que se opone al movimiento giratorio de las roldanas, el qual proviene de la rigidez de las cuerdas que las envuelven, y por cuyo medio obran el peso y la potencia aplicados en sus extremos. De estas consideraciones deduciremos, la especie de cuerdas mas propias para estos ó los otros efectos, sus diámetros mas convenientes para disminuir los estorbos nacidos de la rigidez el aumento que para el mismo fin conviene dar á los radios de y " las roldanas. Para concebir como perjudica á los efectos de las fuerzas la rigidez de las cuerdas, imaginemos que el moton ó roldana A B C (Lam. IV. fig. 33.) puede girar sin el menor roce sobre su exe R. Suponiendo iguales los dos pesos P, Q, si aumentamos el uno de ellos, por exemplo, el Q de una corta cantidad, el movimiento no puede tener lugar, á ménos de que la cuerda P A B C Q no sea enteramente flexible. Para esto concibamos 1.o, que léjos de ser flexible la cuerda, es enteramente rígida, de suerte que sus porciones A P, CQ se consideren como unas barras hechas firmes en los puntos A y C: es evidente que si en este caso intentamos mover la roldana en el sentido A B C, los dos pesos P y Q tomarán las situaciones pya, y para conservarlos en este estado será preciso emplear una fuerza aparte. En virtud de esto, aunque no podemos graduar las cuerdas de enteramente rígidas como las barras mencionadas, sin embargo su inflexibilidad, tal qual sea, causa que en la Lam. IV. fig. 34. luego que por el giro de la roldana se traslada el punto A á a, y el Các, las porciones de cuerda A P, C Q toman alguna curvidad, de suerte que el peso P se halla mas léjos de R, y el Q mas cerca de lo que hubieran estado en el caso de ser la cuerda enteramente flexible. Para reducir las porciones de cuerda a o, C c tangentes á la roldana en los puntos A y C, importa emplear una fuerza aparte, y el esfuerzo total es mayor del que sin este estorbo se necesitaria para hacer girar la roldana. 143 Si suponiendo como hasta aquí la roldana sin embarazo alguno para girar sobre su exe R, empleamos en vez de una cuerda una cinta, que es extraordinariamente mas flexible, entónces con el menor peso que añadamos á Q observaremos girar la roldana. Si luego á la cinta le substituimos una cuerda, veremos que conviene añadirle á Q, para que gire, un peso mayor, segun lo mayores que fuesen los dos pesos primitivos P y Q; porque en igualdad de circunstancias, acredita la experiencia que, el estorbo dimanado de la rigidez de las cuerdas aumenta, segun aumentan los pesos ó esfuerzos encontrados que se les aplican. diá 144 Tambien crece el estorbo de la rigidez, segun el mayor metro de las cuerdas, pues las mas gordas son ménos flexibles. 145 El obstáculo que ocasiona la rigidez de las cuerdas, hemos visto que procede de la cantidad en que la porcion a o de la cuerda se desvia del arco a A de la roldana. Por consiguiente si la roldana es muy chica, siendo muy violenta su curvidad, el arco a A distará mucho mas de la cuerda a o, que toca la roldana en a, de lo que hubiera distado en el caso de ser la roldana muy grande, á causa de ser menores los desvios de las tangentes de grandes arcos que de los pequeños.. . 146 Reuniendo las causas que aumentan los efectos de la rigidez de las cuerdas podemos decir que aquellas crecen, en razon directa de los pesos que sostienen las cuerdas y de los diámetros de las mismas; pero en inversa de los radios de las roldanas ó cilindros que dichas cuerdas abrazan. Si suponemos el valor de dos pesos ó esfuerzos P, el diámetro de la cuerda de cuyos extremos penden =D, y el radio del tambor ó roldana que los sostiene R, diremos que el estorbo de la rigidez, contrario á nuestras fuerzas, PD = es= , y que para disminuirlo, en caso de no poder disminuir R ni P, ni D, conviene aumentar R: esto es, hacer las roldanas del mayor diámetro que permitan las circunstancias. 147 Las cuerdas muy corchadas, como todo el mundo sabe, tienen una rigidez incomparablemente mayor que las que lo están |