83 Las palancas de la Lam. II. fig. 10. 11. 12., y qualesquiera otras, siendo unos cuerpos sólidos deben ser pesadas, y si las suponemos compuestas de una materia enteramente homogénea, y de igual espesor en toda su extension, estará el centro de gravedad ó el punto de reunion del peso de dichas en la mitad E de su longitud (art. 358.) Este peso R, en la Lam. II. fig. 10., por hallarse entre el punto de apoyo C, y la potencia Q aplicada en D, favorece á esta última; pues dicha gravedad R de la palanca contribuye á baxar la parte CD, y á elevar la CB. Por consiguiente en el caso de la Lamina II. fig. 10., quanto mas grande y pesada sea la palanca B D, tanto menor será la fuerza Q que forme equilibrio con el obstáculo P. Y en este sentido tendrá toda su extension teórica el dicho del célebre Filósofo de Siracusa. -84 Muy al contrario se verifica en la Lam. II. fig. 11.; pues la gravedad R de la palanca favorece al obstáculo P contra la potencia Q. Por consiguiente, si la palanca es infinita, resultará tambien infinita su resistencia ó gravedad R que debe vencer la potencia Q. Así siendo la palanca infinita, si disponemos dicha máquina como en la Lam. II. fig. 11., muy lejos de poder suspender con ella cielos y tierra, necesitaremos una fuerza infinita para equilibrar el peso del menor átomo posible. 85 De esta observacion podemos sacar aplicaciones útiles en la práctica; para lo qual llevaremos siempre la mira de disponer la direccion de la potencia como en la Lam. II. fig. 10., de suerte que el peso R de la palanca obre contra el obstáculo P, y no a su favor como se verifica en la Lam. II. fig. 11. y 12. 86 Si en lugar de suponer la palanca infinita en la Lam. II. fig. 11. y 12., la suponemos infinitesima, de suerte que toda su extension C D, en la Lam. II. fig. 11., se reduzca al punto de apoyo C, entonces como este punto lo suponemos fixo é inalterable se necesitará tambien una fuerza infinita para suspender en lo mas mínimo un obstáculo que gravite en C segun P. Luego tanto en el caso de ser la palanca infinita, como en el de ser infinitesima, se necesita una potencia infinita Q para vencer el obstáculo. Esta identidad en los casos extremos, nos arguye el que entre dichos debe haber una determinada extension la mas ventajosa para el obrar de la potencia. No verificándose aquella por defecto ó por exceso, la longitud de la palanca será contraria a quien intente servirse de ella. 78 Estas advertencias no tienen lugar siempre que el movimien : 24 REFLEXIONES SOBRE LAS MAQUINAS to de la palanca sea horizontal, ó de derecha á izquierda como en la caña del timon, y barras del cabrestante &c.; porque en este caso la gravedad R se halla enteramente contrastada por el punto de apoyo, y la fuerza perpendicular que se aplica horizontalmente en los extremos de las barras para hacer girar el cabrestante, forma un ángulo recto con el peso R, y sabemos que dos fuerzas que obran á la vez contra un cuerpo formando un ángulo recto entre sus direcciones, en nada se perjudican.. 88 La advertencia tiene entera fuerza en todo movimiento vertical, ó de abaxo para arriba; tal es el que damos al cigüeñal de una bomba; en la porcion de arco que le hacemos describir subiendo, la gravedad del cigüeñal contrasta nuestros esfuerzos, y al contrario los favorece quando desciende. Lo propio se verifica en el uso de los espeques y pies de cabra para sayar ó ronzar la artillería. Si nos valemos del espeque suspendiéndolo, como en la Lam. II. fig. 12., de abaxo para arriba, la gravedad del espeque es contraria para el efecto, y al contrario es favorable siempre que usemos la rotacion de arriba para abaxo como en la Lam. II. fig. 10. 89 En virtud de que para el equilibrio vimos, que el peso ú obstáculo P multiplicado por su distancia al punto de apoyo, debe ser igual al producto de la fuerza Q multiplicada por su distancia al propio punto, siempre que se nos dé Q, P, y la longitud B D de la palanca (Lam. II. fig. 10.), hallaremos fácilmente (prescindiendo de su peso ó gravedad R) el punto C donde debe colocarse el apoyo para que se verifique el equilibrio entre las potencias mencionadas. Sea para esto BD=a, BC=x será CD=a - x, y debere- lo qual da x ó la distancia BC que se busca = Si hacemos P = 20 libras, Q= 4 libras, a = 24 pulgadas, ten96 dremos = 4 pulgadas: esto es, que el punto de apoyo debe colocarse á 4 pulgadas del extremo B de la palanca. 24 1 90 Si ahora con los mismos datos queremos hallar el punto de apoyo C introduciendo el peso R de la palanca, imaginaremos que el peso de dicha es una fuerza vertical R aplicada en su centro de gravedad E, en cuyo caso el producto de P por su distancia á C, debe ser igual á la suma de los productos de R, y Q multiplicados por sus distancias respectivas al mismo punto de apoyo C que vamos á buscar. En virtud de lo qual deberemos tener P × B C = R x C E+QxCD. Signifiquemos por a la longitud B D de la palanca, por x la distancia B C que se busca. Suponiendo que la palanca B D sea recta, y de igual espesor en toda su longitud, el punto E estará en la mitad de la palanca (art. 358.); B E será = a, EC=a-x, C D=a-x. Supongamos que p represente el peso de cada pulgada de la longitud de la palanca; a, y x cuentense igualmente en pulgadas; sentado esto, pa manifestará el peso total R, y se tendrá P x=pa(a-x) + Q (a - x); efectuando la multiplicacion P x=pa2-pax+Qa-Qx, y transportando P x + pax +Q I 120 pa2+Qa Si ahora substitui 8 x = pa2+Qa: lo que da x = P+pa+Q mos los valores de a = 24 pulgadas, P = 20 libras, Q = 4 libras, yp= de libra, tendremos x = = 4 pulgadas +-de pulgada. Esta es la distancia B C donde debe colocarse el punto de apoyo C respecto al extremo B. Esta distancia es diversa de las 4 pulgadas que hallamos anteriormente habiendo despreciado el peso R de la palanca. 12 26 13 91 Procediendo del mismo modo se halla el punto D, por exemplo, donde conviene colocar la potencia Q, dado el punto B, el de apoyo C, y los valores de P, y Q en la Lam. II. fig. 10. y 11. De la equacion que nos da el valor de y, ó la distancia CD en la Lam. II. Pb+pyy fig. 11., resulta el valor de Q = -; donde se verifica lo que y anteriormente hemos advertido: esto es, que si y, ó la longitud de la palanca es infinita, Q=$P∞, óQ=p∞ : quiere decir, que 8 2 la fuerza ó potencia en el caso de ser la palanca infinita, debe ser tambien infinita. Si la longitud C D es = 0, esto es, si toda la palanca se reduce al punto C, y, ó su longitud será = 0; y tendremos Pb Q - cantidad infinita. Luego se verifica todo lo que anteriormente hemos prevenido (art. 86.) 92 El cálculo diferencial nos da medios para hallar los máximos y mínimos valores de las cantidades que los admiten; estos consisten en igualar á o la diferencial de la equacion que representa dichas cantidades. Usando de este método nos resulta y, ó la longitud que D √2Pb P debe tener la palanca CD en la Lam. II. fig. 11. = Substituyendo los valores de las cantidades conocidas b=BC, P=al obstáculo, y p=á lo que pesa una pulgada de la palanca, tendremos la extension que conviene darle en el caso propuesto para que la potencia Q sea la menor posible. Por consiguiente quando con una palanca pesada se intenta vencer un peso F, (Lam. II. fig. 12.) se debe dar á la palanca una longitud determinada á fin de emplear la menor fuerza posible; toda otra longitud diversa de la dicha es perjudicial. De todo esto se colige la gran diferencia que hay entre considerar la palanca sin peso alguno, ó bien pesada como realmente lo es. √2Pb P 93 Por consiguiente sirviéndonos de un espeque por el estilo que indica la Lam. II. fig. 12., dicho espeque deberá tener una longitud CD determinada para producir el máximo efecto ; y sería grave error el creer en semejante circunstancia, que quanto mas largo fuese, era tanto mas á propósito para la faena. La longitud del espeque y de otra palanca qualquiera debe determinarse por la expresion siempre que useinos de dicha máquina para un caso determinado como en la Lam. II. fig. 12. La letra p nos significa el peso de una pulgada de la materia particular de que se compone la palanca, y por consiguiente se ve que en igualdad de las otras circunstancias, deberá variar la longitud de un pie de cabra que es de hierro, respecto á un espeque que es de madera, siempre que sea igual el diámetro ó espesor de ambas barras. 94 Prévias estas advertencias respecto al uso de la palanca, pasemos á otras no ménos interesantes. Supongamos que en la palanca A B (Lam. II. fig. 13.) se distribuyen quatro pesos cono P para formar el equilibrio con otro R. Sea el brazo C A donde se aplican los pesos P, P, &. quatro veces mas largo que el otro C B. El primer peso diste I de C, el segundo 2, el tercero 3, el quarto 4, y cada uno pese 10 libras. En virtud de todo lo dicho, el esfuerzo del primer peso será = 10 libras, el del segundo = 20, el del tercero = 30, el del quarto =40; el esfuerzo de todos los pesos será = 100; y por consiguiente dichos pesos distribuidos en la forma insinuada solo podrán contrastar un obstáculo ó resistencia R = 100. Si en lugar de disponerlos como en la Lam. II. fig. 13., los hubiesemos reunido todos en el extremo A, su esfuerzo total hubiera sido el producto de 40 suma de todos ellos multiplicada por la distancia 4: esto es, = 160. : Y por consiguiente los mismos pesos colocados de este último modo pueden equilibrarse con una resistencia R, 60 veces mayor que la de ántes. 95 Infiérese de esto, que si un hombre colocado en el extremo de una palanca puede contrarrestar un peso de 1000 libras que cuelga del otro extremo, 4 hombres de igual fuerza no podrán contrarrestar uno de 4000 libras si se distribuyen á diversas distancias del apoyo C en el brazo de la misma palanca como en la Lam. II. fig. 13. Esto mismo se verifica en el servicio del cabrestante á bordo; quatro, ó cinco hombres distribuidos en diversos puntos de una barra, no pueden hacer un esfuerzo quadruplo, ó quintuplo del que exerceria uno solo colocado en el extremo. 96 Se deduce de lo que acabamos de decir, el modo de distribuir igual, ó desigualmente un peso qualquiera entre dos personas, ó puntos de apoyo que deban sostenerlo por medio de una palanca. Supongamos colocado el peso en medio de la longitud de la palanca apoyada en sus extremos; cada punto de apoyo sostendrá la mitad del peso, y su esfuerzo será por consiguiente igual. Si colocamos el peso tres veces mas cerca del un apoyo que del otro, el esfuerzo del primero habrá de ser triplo del de este último; si quatro, quadruplo; y así en adelante. 97 Esta misma teórica se aplica á las palancas curvas, ó cuyos brazos forman un ángulo como los de la Lam. II. fig. 14. Si C manifiesta el punto de apoyo, el peso P hará tanto mas esfuerzo contra la resistencia R, quanto mas diste del apoyo el punto del brazo C A donde se aplica. En conseqüencia de esta verdad se verifica, que haciendo uso de un martillo para arrancar un clavo, lo conseguimos con mayor facilidad segun lo mas largo de su mango. 98 Si imaginamos que C B representa el brazo y uña del áncla sujeta al fondo, y C A la caña, á cuyo extremo obra para hacerla rotar sobre C la fuerza vertical del cable, podremos aplicarle esta misma teórica como veremos en su lugar. 99 Hasta aquí hemos medido las distancias á que obran encontradamente la potencia y el obstáculo, por medio de los brazos mismos de la palanca. Esto tiene solo lugar quando siendo la palanca recta, el obstáculo y potencia obran perpendicularmente ambos contra la longitud de dicha, como en las Lam. I. y II. fig. 8. 9. y 13.; ó á lo menos, quando aun que obren como en la Lam. II. fig. 10. y 11. sus direcciones BP, y DQ, son paralelas. 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